Logique, calcul et représentation en contexte catégorique : le point de vue des monades
1 : SPHERE
CNRS : UMR7219, Université Paris Diderot - Paris 7
Il s'agira d'examiner un des concepts propres à cette partie de la logique catégorique qui vise, à l'instar de la théorie des modèles mais indépendamment de ses outils sémantiques, à décrire des types d'objets mathématiques : les monades (ou triples). L'histoire complexe de cette notion, élaborée dans le cadre de l'algèbre cohomologique en 1958, réinvestie par l'algèbre universelle avant de devenir un outil de l'informatique théorique, sous la forme des « notions de computation », paraît en effet établir une continuité entre différents domaines des mathématiques, et enrichir ainsi l'idée intra-mathématique de représentation de déterminations étrangères au contexte logique, appuyant ainsi la thèse d'Albert Lautman, selon laquelle, concernant le « passage de l'essence à l'existence », la logique mathématique ne jouit d'aucun « privilège spécial ». Ce lien conceptuel, unissant le « calcul » des groupes de cohomologie à celui capturé par les langages de programmation, soulève cependant certaines difficultés : ainsi, si la monadicité d'une catégorie indique son « degré d'algébricité », comment comprendre le fait que la catégorie des corps ne soit pas monadique sur les ensembles, à la différence des espaces compacts ? Faut-il voir dans cette notion originale d'algébricité un « héritage » de son contexte d'élaboration : la recherche d'invariants algébriques pour des espaces topologiques, et son extension sous la forme de l'algèbre cohomologique ? Pour résoudre ces questions, nous présenterons en outre les liens des monades avec d'autres concepts-clés de la logique catégorique et examinerons la possibilité d'une compréhension model-théorique de la monadicité.
